Kóbor Budapesten született és nőtt fel, első zenekarát még gimnáziumban alapította, majd egy-két kisebb formációt megjárva megalapították az Omegát 1960-ban. Kezdetben inkább nyugati dalok feldolgozásából állt a zenei repertoár, és megfordult még énekesként Benkő László és Koncz Zsuzsa is. Van egy építészmérnöki diplomája is, amit a Budapesti Műszaki Egyetemen szerzett, de állítása szerint soha egy percet sem dolgozott építészként.
Kóbor végül teljesen áttért az énekre, és részt vett az Omega mind a 17 albumának elkészítésében. A legutolsó album 2020-ban jelent meg Testamentum címmel. Kóbor azon kevés sikeres magyar előadók közé tartozik, aki a teljes pályáját egyetlen egy zenekar tagjaként töltötte ki, és csak elvétve bukkant fel itt-ott vendégelőadóként. A fellépések mellett egyébként dolgozott zenei rendezőként, vezetett kiadót, és alapított egy hangberendezés-kölcsönző céget is.
Pályája során megkapott szinte minden fontosabb állami kitüntetést. Az Omega tagjaival megosztva 1987-ben a Liszt Ferenc-díjat, majd 2013-ban a Kossuth-díjat is. 1995-ben Kóbor a Magyar Köztársasági Érdemrend kiskeresztjét is megkapta, 2013-ban pedig Budapest díszpolgárává avatták. Kóbor kétszer házasodott, az első házasságából egy fia született, a második házasságából pedig egy lánya.
Úgy tudni, az énekes nem volt beoltva. „Sosem oltatom be magam semmivel, az influenza elleni vakcinát sem kértem, és ezt sem fogom. Szerintem az, hogy oltáshoz lesz kötve, ki hová mehet, a személyiségi jogok durva megsértése” – mondta még tavaly decemberben a Blikknek. „Se pro se kontra nem vagyok az oltással kapcsolatban. Soha nem foglalkoztam a vírustagadókkal, meg az összeesküvéselméletet gyártókkal sem. Reménykedem abban, hogy azon tudósok, akik az oltással foglalkoznak, nagyon tudják a dolgukat, és megtalálják a megoldást. […] Soha nem voltam igazán beteg! […] Akinek fontos, vegye fel a vakcinát” – mondta a Ripostnak.
